Quand l’ordre compte-t-il ?

Quand les positions sont distinctes. Un podium or, argent, bronze est un arrangement ; un comité de trois personnes est une combinaison. Demandez-vous si échanger deux éléments choisis change le résultat.

Pourquoi ne pas employer directement les factorielles ?

Parce que 171! dépasse ce qu’un ordinateur peut représenter comme nombre, alors que 3 parmi 200 ne vaut que 1 313 400. Cette page multiplie et divise au fur et à mesure pour que les valeurs intermédiaires restent petites, ce qui permet aux grands tirages de fonctionner ici.

Et si les éléments peuvent se répéter ?

Ces formules supposent que chaque élément est pris au plus une fois. Un tirage avec remise — où le même numéro peut sortir deux fois — relève d’une autre arithmétique et donne des comptes plus grands.

Calcul de combinaisons

Saisissez le nombre d’éléments disponibles et le nombre d’éléments tirés pour voir les combinaisons et les arrangements.

Le lien conserve les valeurs saisies : il rouvre exactement sur ces chiffres.

À quelle vitesse l’ordre se met à compter

Dans l’ensemble que vous avez saisi, en tirant des nombres d’éléments différents. Les deux colonnes diffèrent d’un facteur r factorielle — le nombre de façons d’ordonner un tirage donné — et cet écart croît bien plus vite que l’une ou l’autre colonne.

Éléments tirés	Combinaisons (ordre ignoré)	Arrangements (l’ordre compte)	Ordres possibles de l’ensemble choisi
2L’ordre double le compte. Cela se tient encore de tête.	1 176	2 352	2
3	18 424	110 544	6
4L’ordre multiplie désormais par 24.	211 876	5 085 024	24
5	1 906 884	228 826 080	120
6À six éléments, l’ordre multiplie le compte par 720.	13 983 816	10 068 347 520	720

La formule

combinaisons = n! ÷ (r! × (n − r)!)

arrangements = n! ÷ (n − r)!

permutations avec répétition = n^r

combinaisons avec répétition = (r + n − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)

ordres = r!

Exemple chiffré

Le tirage du loto, 6 parmi 49

6 parmi 49 = 13 983 816 combinaisons
Une grille est l’une d’elles
1 ÷ 13 983 816 = 0,0000072 % par tirage

Là où l’on se trompe

Compter des ordres dont le problème ne se soucie pas

Choisir 6 numéros parmi 49 donne 13 983 816 combinaisons mais 10 068 347 520 arrangements — 720 fois plus, parce qu’une grille de loto se moque de l’ordre de sortie des boules. Employer le compte ordonné fait passer une chance sur quatorze millions pour une chance sur dix milliards.

Questions

Quand l’ordre compte-t-il ?: Quand les positions sont distinctes. Un podium or, argent, bronze est un arrangement ; un comité de trois personnes est une combinaison. Demandez-vous si échanger deux éléments choisis change le résultat.
Pourquoi ne pas employer directement les factorielles ?: Parce que 171! dépasse ce qu’un ordinateur peut représenter comme nombre, alors que 3 parmi 200 ne vaut que 1 313 400. Cette page multiplie et divise au fur et à mesure pour que les valeurs intermédiaires restent petites, ce qui permet aux grands tirages de fonctionner ici.
Et si les éléments peuvent se répéter ?: Ces formules supposent que chaque élément est pris au plus une fois. Un tirage avec remise — où le même numéro peut sortir deux fois — relève d’une autre arithmétique et donne des comptes plus grands.