Pourquoi la rareté de la maladie compte-t-elle autant ?

Parce que les faux positifs sont tirés de la population saine, et quand la maladie est rare cette population est presque tout le monde. Un taux d’erreur de 1 % appliqué à 99 900 personnes produit bien plus de positifs qu’un taux de détection de 99 % appliqué à 100.

Cela veut-il dire que le dépistage ne sert à rien ?

Non — cela veut dire qu’un seul résultat positif est une raison de retester, pas une conclusion. Un second test indépendant applique la même arithmétique à un groupe désormais atteint à 9 % au lieu de 0,1 %, et la réponse change du tout au tout.

Où cela se retrouve-t-il ailleurs ?

Partout où l’on cherche une chose rare avec un filtre imparfait : détection de fraude, filtrage des courriels indésirables, contrôles de sécurité, tests antidopage. Les mathématiques se moquent de ce que l’on recherche.

Calcul du théorème de Bayes

Saisissez la fréquence de la maladie et les performances du test pour voir ce qu’implique réellement un résultat positif.

Le lien conserve les valeurs saisies : il rouvre exactement sur ces chiffres.

Le même test, sur des populations différentes

Votre test, inchangé : seule varie la fréquence de la maladie. Rien du test ne s’améliore ni ne se dégrade le long de cette colonne ; ce qui change, c’est qui l’on teste.

Fréquence	Probabilité de l’avoir réellement	Vrais positifs pour 100 000 personnes testées	Faux positifs pour 100 000 personnes testées
1 sur 10 000Dépistage d’une maladie rare sur toute une population.	0,98 %	10	1 000
1 sur 1 000	9,016 %	99	999
1 sur 100	50 %	990	990
1 sur 10Test de personnes qui présentent déjà des symptômes.	91,667 %	9 900	900
1 sur 2Une probabilité a priori de pile ou face : le test finit par l’emporter.	99 %	49 500	500

La formule

vrais positifs = fréquence × sensibilité

faux positifs = (1 − fréquence) × taux de faux positifs

réponse = vrais positifs ÷ (vrais positifs + faux positifs)

Exemple chiffré

Une maladie que porte une personne sur mille, un test qui en détecte 99 % et en signale à tort 1 %

Sur 100 000 personnes, 100 l’ont
99 d’entre elles sont testées positives
Sur les 99 900 qui ne l’ont pas, 999 sont positives malgré tout
99 ÷ (99 + 999) = 9,0 % — un résultat positif se trompe neuf fois sur dix

Là où l’on se trompe

Prendre la précision du test pour sa propre probabilité

Un test précis à 99 % ne signifie pas qu’un résultat positif a 99 % de chances d’être juste. Quand seule 1 personne sur 1 000 porte la maladie, les 999 faux positifs parmi les gens sains dépassent de loin les 99 vrais positifs parmi les malades, et un positif vaut environ 9 % de probabilité. La rareté l’emporte sur la précision, et largement.

Questions

Pourquoi la rareté de la maladie compte-t-elle autant ?: Parce que les faux positifs sont tirés de la population saine, et quand la maladie est rare cette population est presque tout le monde. Un taux d’erreur de 1 % appliqué à 99 900 personnes produit bien plus de positifs qu’un taux de détection de 99 % appliqué à 100.
Cela veut-il dire que le dépistage ne sert à rien ?: Non — cela veut dire qu’un seul résultat positif est une raison de retester, pas une conclusion. Un second test indépendant applique la même arithmétique à un groupe désormais atteint à 9 % au lieu de 0,1 %, et la réponse change du tout au tout.
Où cela se retrouve-t-il ailleurs ?: Partout où l’on cherche une chose rare avec un filtre imparfait : détection de fraude, filtrage des courriels indésirables, contrôles de sécurité, tests antidopage. Les mathématiques se moquent de ce que l’on recherche.