Was misst ein z-Wert eigentlich?

Wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Er streift die Einheiten ab, ein z von 2 bedeutet also dasselbe, ob Sie mit Millimetern, Geldbeträgen oder Prüfungspunkten begonnen haben.

Funktioniert das mit beliebigen Daten?

Der z-Wert selbst schon. Das Perzentil nicht — es setzt voraus, dass die Daten normalverteilt sind. Bei schiefen Daten wie Einkommen lässt sich der z-Wert zwar berechnen, das daraus abgeleitete Perzentil ist aber falsch.

Was gilt als ungewöhnlicher z-Wert?

Rund 68 % einer Normalverteilung liegen innerhalb einer Standardabweichung, 95 % innerhalb von zwei und 99,7 % innerhalb von drei. Jenseits von drei wird es wirklich selten — etwa eine Beobachtung von 370.

Z-Wert-Rechner

Geben Sie einen Wert zusammen mit Mittelwert und Standardabweichung seiner Verteilung ein.

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Die Z-Werte, die man kennen sollte

Auf einer Standardnormalverteilung — Mittelwert 0, Standardabweichung 1. Die letzten beiden Spalten sind die einseitige und die zweiseitige Lesart desselben Z-Werts, und sie unterscheiden sich um den Faktor zwei.

Z-Wert	Perzentil	Anteil oberhalb dieses Werts	Anteil, der mindestens so weit vom Mittelwert entfernt liegt
1Zwei Drittel aller Werte liegen innerhalb von ±1.	84,1345 %	15,8655 %	31,7311 %
1,645Die einseitige 5-%-Schwelle.	95,0015 %	4,9985 %	9,997 %
1,96Die zweiseitige 5-%-Schwelle — die hinter „p < 0,05“.	97,5002 %	2,4998 %	4,9996 %
2	97,725 %	2,275 %	4,55 %
2,576Die zweiseitige 1-%-Schwelle.	99,5002 %	0,4998 %	0,9995 %
3Etwa 1 von 370 in eine der beiden Richtungen.	99,865 %	0,135 %	0,27 %

Die Formel

z = (Wert − Mittelwert) ÷ Standardabweichung

Perzentil = Φ(z)

Rechenbeispiel

Ein IQ-Wert von 130 bei einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15

(130 − 100) ÷ 15 = 2
Φ(2) = 97,72. Perzentil
2,28 % liegen darüber

Wo es schiefgeht

Ein einseitiges Perzentil als zweiseitiges Ergebnis lesen

Ein z von 2 setzt Sie auf das 97,7. Perzentil, 2,3 % liegen also darüber — aber 4,6 % sind mindestens so weit vom Mittelwert entfernt, in die eine oder die andere Richtung. Signifikanztests wollen fast immer den zweiseitigen Wert, und wer den einseitigen nimmt, lässt ein Ergebnis doppelt so ungewöhnlich erscheinen, wie es ist.

Fragen

Was misst ein z-Wert eigentlich?: Wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Er streift die Einheiten ab, ein z von 2 bedeutet also dasselbe, ob Sie mit Millimetern, Geldbeträgen oder Prüfungspunkten begonnen haben.
Funktioniert das mit beliebigen Daten?: Der z-Wert selbst schon. Das Perzentil nicht — es setzt voraus, dass die Daten normalverteilt sind. Bei schiefen Daten wie Einkommen lässt sich der z-Wert zwar berechnen, das daraus abgeleitete Perzentil ist aber falsch.
Was gilt als ungewöhnlicher z-Wert?: Rund 68 % einer Normalverteilung liegen innerhalb einer Standardabweichung, 95 % innerhalb von zwei und 99,7 % innerhalb von drei. Jenseits von drei wird es wirklich selten — etwa eine Beobachtung von 370.