Was bedeutet hier unabhängig?

Dass das Eintreten des einen Ereignisses nichts über das andere aussagt. Regen und eine Zugverspätung sind meist nicht unabhängig, denn Regen verursacht Verspätungen; für solche Ereignisse unterschätzen diese Formeln die gemeinsame Wahrscheinlichkeit.

Warum ist „keines“ nicht einfach 100 % minus „beide“?

Weil dazwischen der Fall liegt, dass genau eines eintritt. Die vier Ausgänge — beide, nur A, nur B, keines — ergeben zusammen 100 %, nicht nur die beiden Extreme.

Kann ich mehr als zwei Ereignisse verketten?

Für „alle treten ein“ ja: weiter multiplizieren. Für „mindestens eines“ ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass keines eintritt, und sie von eins abzuziehen; so entfällt das Zählen von Überschneidungen ganz.

Wahrscheinlichkeitsrechner

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses ein, um zu sehen, wie sie sich verbinden.

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Die Formel

beide = A × B

mindestens eines = A + B − (A × B)

keines = (1 − A) × (1 − B)

genau eines = A + B − 2 × (A × B)

Rechenbeispiel

Eine Regenwahrscheinlichkeit von 50 % und eine davon unabhängige Zugverspätung mit 30 %

0,50 × 0,30 = 15 % beide
0,50 + 0,30 − 0,15 = 65 % mindestens eines
0,50 × 0,70 = 35 % keines

Wo es schiefgeht

Wahrscheinlichkeiten addieren, die beide eintreten können

Eine Wahrscheinlichkeit von 50 % und eine von 30 % ergeben keine 80 % für mindestens eines. Das Addieren zählt die Überschneidung doppelt, deshalb müssen Sie die 15 %, in denen beide eintreten, abziehen; es bleiben 65 %. Verräterisch wird es, wenn die Summe 100 % überschreitet — zwei Wahrscheinlichkeiten von 60 % können keine 120 % für irgendetwas ergeben.

Fragen

Was bedeutet hier unabhängig?: Dass das Eintreten des einen Ereignisses nichts über das andere aussagt. Regen und eine Zugverspätung sind meist nicht unabhängig, denn Regen verursacht Verspätungen; für solche Ereignisse unterschätzen diese Formeln die gemeinsame Wahrscheinlichkeit.
Warum ist „keines“ nicht einfach 100 % minus „beide“?: Weil dazwischen der Fall liegt, dass genau eines eintritt. Die vier Ausgänge — beide, nur A, nur B, keines — ergeben zusammen 100 %, nicht nur die beiden Extreme.
Kann ich mehr als zwei Ereignisse verketten?: Für „alle treten ein“ ja: weiter multiplizieren. Für „mindestens eines“ ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass keines eintritt, und sie von eins abzuziehen; so entfällt das Zählen von Überschneidungen ganz.