Wann kommt es auf die Reihenfolge an?

Wenn die Plätze unterscheidbar sind. Ein Siegerpodest aus Gold, Silber und Bronze ist eine Permutation; ein dreiköpfiger Ausschuss ist eine Kombination. Fragen Sie sich, ob das Vertauschen zweier gewählter Objekte ein anderes Ergebnis ergibt.

Warum kann ich nicht einfach direkt mit Fakultäten rechnen?

Weil 171! über das hinausgeht, was ein Rechner als Zahl halten kann, während 200 über 3 nur 1.313.400 ergibt. Diese Seite multipliziert und dividiert im Wechsel, sodass die Zwischenwerte klein bleiben; deshalb funktionieren hier auch große Ziehungen.

Was, wenn Objekte mehrfach vorkommen dürfen?

Diese Formeln setzen voraus, dass jedes Objekt höchstens einmal gezogen wird. Ziehen mit Zurücklegen, bei dem dieselbe Zahl zweimal kommen kann, folgt einer anderen Rechnung und ergibt größere Anzahlen.

Kombinationsrechner

Geben Sie ein, wie viele Objekte es gibt und wie viele Sie ziehen, um Kombinationen und Permutationen zu sehen.

Der Link enthält die eingegebenen Werte und öffnet wieder genau diese Zahlen.

Wie schnell die Reihenfolge ins Gewicht fällt

Aus derselben eingegebenen Menge, mit unterschiedlich vielen gezogenen Objekten. Die beiden Spalten unterscheiden sich um r Fakultät — die Zahl der Anordnungen einer einmal gezogenen Menge — und dieser Abstand wächst weit schneller als jede der beiden Spalten.

Gezogene Objekte	Kombinationen (Reihenfolge egal)	Permutationen (Reihenfolge zählt)	Anordnungen der gezogenen Menge
2Die Reihenfolge verdoppelt die Anzahl. Noch im Kopf zu behalten.	1.176	2.352	2
3	18.424	110.544	6
4Jetzt vervielfacht die Reihenfolge um das 24-Fache.	211.876	5.085.024	24
5	1.906.884	228.826.080	120
6Bei sechs Objekten vervielfacht die Reihenfolge die Anzahl um das 720-Fache.	13.983.816	10.068.347.520	720

Die Formel

Kombinationen = n! ÷ (r! × (n − r)!)

Permutationen = n! ÷ (n − r)!

Permutationen mit Wiederholung = n^r

Kombinationen mit Wiederholung = (r + n − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)

Anordnungen = r!

Rechenbeispiel

Die Lottoziehung 6 aus 49

49 über 6 = 13.983.816 Kombinationen
Ein Tipp ist einer davon
1 ÷ 13.983.816 = 0,0000072 % je Ziehung

Wo es schiefgeht

Anordnungen zählen, auf die es bei der Aufgabe nicht ankommt

6 Zahlen aus 49 zu wählen ergibt 13.983.816 Kombinationen, aber 10.068.347.520 Permutationen — 720-mal so viele, denn einem Lottoschein ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge die Kugeln fallen. Wer mit der geordneten Anzahl rechnet, lässt eine Chance von eins zu vierzehn Millionen wie eins zu zehn Milliarden aussehen.

Fragen

Wann kommt es auf die Reihenfolge an?: Wenn die Plätze unterscheidbar sind. Ein Siegerpodest aus Gold, Silber und Bronze ist eine Permutation; ein dreiköpfiger Ausschuss ist eine Kombination. Fragen Sie sich, ob das Vertauschen zweier gewählter Objekte ein anderes Ergebnis ergibt.
Warum kann ich nicht einfach direkt mit Fakultäten rechnen?: Weil 171! über das hinausgeht, was ein Rechner als Zahl halten kann, während 200 über 3 nur 1.313.400 ergibt. Diese Seite multipliziert und dividiert im Wechsel, sodass die Zwischenwerte klein bleiben; deshalb funktionieren hier auch große Ziehungen.
Was, wenn Objekte mehrfach vorkommen dürfen?: Diese Formeln setzen voraus, dass jedes Objekt höchstens einmal gezogen wird. Ziehen mit Zurücklegen, bei dem dieselbe Zahl zweimal kommen kann, folgt einer anderen Rechnung und ergibt größere Anzahlen.