Warum ist die Seltenheit der Erkrankung so entscheidend?

Weil falsch positive Ergebnisse aus der gesunden Bevölkerung stammen, und bei einer seltenen Erkrankung ist das fast jeder. Eine Fehlerquote von 1 %, angewandt auf 99.900 Personen, erzeugt weit mehr positive Ergebnisse als eine Trefferquote von 99 %, angewandt auf 100.

Heißt das, Reihenuntersuchungen sind nutzlos?

Nein — es heißt, dass ein einzelnes positives Ergebnis ein Grund zum Nachtesten ist und kein Schluss. Ein zweiter, unabhängiger Test wendet dieselbe Rechnung auf eine Gruppe an, die nun zu 9 % betroffen ist statt zu 0,1 %, und die Antwort ändert sich vollständig.

Wo taucht das sonst noch auf?

Überall dort, wo etwas Seltenes mit einem unvollkommenen Filter gesucht wird: Betrugserkennung, Spamfilter, Sicherheitskontrollen, Dopingtests. Die Mathematik kümmert sich nicht darum, wonach gesucht wird.

Bayes-Rechner

Geben Sie ein, wie verbreitet die Erkrankung ist und wie der Test abschneidet, um zu sehen, was ein positives Ergebnis wirklich bedeutet.

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Die Formel

richtig positive = Prävalenz × Sensitivität

falsch positive = (1 − Prävalenz) × Rate falsch positiver Ergebnisse

Ergebnis = richtig positive ÷ (richtig positive + falsch positive)

Rechenbeispiel

Eine Erkrankung, die eine Person von tausend hat, und ein Test, der 99 % erkennt und 1 % fälschlich anzeigt

Von 100.000 Personen haben 100 die Erkrankung
99 davon werden positiv getestet
Von den 99.900 ohne die Erkrankung werden 999 trotzdem positiv getestet
99 ÷ (99 + 999) = 9,0 % — ein positives Ergebnis ist in neun von zehn Fällen falsch

Wo es schiefgeht

Die Testgenauigkeit als eigene Wahrscheinlichkeit lesen

Ein zu 99 % genauer Test bedeutet nicht, dass ein positives Ergebnis zu 99 % richtig ist. Wenn nur 1 von 1.000 Personen die Erkrankung hat, übertreffen die 999 falsch positiven Ergebnisse unter den Gesunden die 99 richtig positiven unter den Kranken bei Weitem, und ein positives Ergebnis bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von etwa 9 %. Seltenheit schlägt Genauigkeit, und sie schlägt sie deutlich.

Fragen

Warum ist die Seltenheit der Erkrankung so entscheidend?: Weil falsch positive Ergebnisse aus der gesunden Bevölkerung stammen, und bei einer seltenen Erkrankung ist das fast jeder. Eine Fehlerquote von 1 %, angewandt auf 99.900 Personen, erzeugt weit mehr positive Ergebnisse als eine Trefferquote von 99 %, angewandt auf 100.
Heißt das, Reihenuntersuchungen sind nutzlos?: Nein — es heißt, dass ein einzelnes positives Ergebnis ein Grund zum Nachtesten ist und kein Schluss. Ein zweiter, unabhängiger Test wendet dieselbe Rechnung auf eine Gruppe an, die nun zu 9 % betroffen ist statt zu 0,1 %, und die Antwort ändert sich vollständig.
Wo taucht das sonst noch auf?: Überall dort, wo etwas Seltenes mit einem unvollkommenen Filter gesucht wird: Betrugserkennung, Spamfilter, Sicherheitskontrollen, Dopingtests. Die Mathematik kümmert sich nicht darum, wonach gesucht wird.