Quando a ordem importa?

Quando as posições são distinguíveis. Um pódio de ouro, prata e bronze é uma permutação; uma comissão de três pessoas é uma combinação. Pergunte-se se trocar dois itens escolhidos produz um resultado diferente.

Por que não posso usar fatoriais direto?

Porque 171! estoura o que um computador consegue guardar como número, enquanto 200 escolhe 3 dá apenas 1.313.400. Esta página multiplica e divide em etapas para que os valores intermediários fiquem pequenos, e é por isso que sorteios grandes continuam funcionando aqui.

E se os itens puderem se repetir?

Estas fórmulas supõem que cada item é tirado no máximo uma vez. Sortear com reposição — em que o mesmo número pode sair duas vezes — usa outra aritmética e dá contagens maiores.

Calculadora de Combinação

Informe quantos itens existem e quantos você tira para ver as combinações e as permutações.

O link guarda os valores informados: reabre exatamente com estes números.

Com que rapidez a ordem começa a pesar

Do mesmo conjunto que você informou, retirando quantidades diferentes de itens. As duas colunas diferem por r fatorial — o número de maneiras de arranjar um grupo já escolhido — e essa distância cresce muito mais rápido do que qualquer uma delas.

Itens retirados	Combinações (ordem ignorada)	Permutações (a ordem importa)	Ordenações do conjunto escolhido
2A ordem dobra a contagem. Ainda dá para fazer de cabeça.	1.176	2.352	2
3	18.424	110.544	6
4Agora a ordem multiplica por 24.	211.876	5.085.024	24
5	1.906.884	228.826.080	120
6Com seis itens, a ordem multiplica a contagem por 720.	13.983.816	10.068.347.520	720

A fórmula

combinações = n! ÷ (r! × (n − r)!)

permutações = n! ÷ (n − r)!

permutações com repetição = n^r

combinações com repetição = (r + n − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)

ordenações = r!

Exemplo resolvido

O sorteio de 6 números entre 49

49 escolhe 6 = 13.983.816 combinações
Um bilhete é uma delas
1 ÷ 13.983.816 = 0,0000072% por sorteio

Onde isso dá errado

Contar ordenações que o problema ignora

Escolher 6 números entre 49 dá 13.983.816 combinações, mas 10.068.347.520 permutações — 720 vezes mais, porque um bilhete de loteria não se importa com a ordem em que as bolas saem. Usar a contagem ordenada faz uma chance de uma em catorze milhões parecer uma em dez bilhões.

Perguntas

Quando a ordem importa?: Quando as posições são distinguíveis. Um pódio de ouro, prata e bronze é uma permutação; uma comissão de três pessoas é uma combinação. Pergunte-se se trocar dois itens escolhidos produz um resultado diferente.
Por que não posso usar fatoriais direto?: Porque 171! estoura o que um computador consegue guardar como número, enquanto 200 escolhe 3 dá apenas 1.313.400. Esta página multiplica e divide em etapas para que os valores intermediários fiquem pequenos, e é por isso que sorteios grandes continuam funcionando aqui.
E se os itens puderem se repetir?: Estas fórmulas supõem que cada item é tirado no máximo uma vez. Sortear com reposição — em que o mesmo número pode sair duas vezes — usa outra aritmética e dá contagens maiores.