Por que a raridade da condição importa tanto?

Porque os falsos positivos saem da população saudável, e quando a condição é rara essa população é quase todo mundo. Uma taxa de erro de 1% aplicada a 99.900 pessoas produz muito mais positivos do que uma taxa de detecção de 99% aplicada a 100.

Isso quer dizer que os exames de rastreamento são inúteis?

Não — quer dizer que um único positivo é motivo para testar de novo, e não uma conclusão. Um segundo teste independente aplica a mesma aritmética a um grupo que agora tem 9% de afetados em vez de 0,1%, e a resposta muda completamente.

Onde mais isso aparece?

Em qualquer lugar onde algo raro é procurado com um filtro imperfeito: detecção de fraude, filtro de spam, triagem de segurança, exame antidoping. A matemática não se importa com o que está sendo procurado.

Calculadora do Teorema de Bayes

Informe o quanto a condição é comum e como o teste se comporta para ver o que um resultado positivo realmente implica.

O link guarda os valores informados: reabre exatamente com estes números.

O mesmo teste, em populações diferentes

O seu teste, sem mudanças: só varia o quanto a condição é comum. Nada no teste melhora ou piora ao longo desta coluna; o que muda é quem está sendo testado.

Quão comum	Chance de você realmente ter	Verdadeiros positivos a cada 100.000 testados	Falsos positivos a cada 100.000 testados
1 em 10.000Rastreamento de uma doença rara em toda uma população.	0,98 %	10	1.000
1 em 1.000	9,016 %	99	999
1 em 100	50 %	990	990
1 em 10Testar pessoas que já apresentam sintomas.	91,667 %	9.900	900
1 em 2Uma probabilidade inicial de cara ou coroa: enfim o teste domina.	99 %	49.500	500

A fórmula

verdadeiros positivos = prevalência × sensibilidade

falsos positivos = (1 − prevalência) × taxa de falsos positivos

resposta = verdadeiros positivos ÷ (verdadeiros positivos + falsos positivos)

Exemplo resolvido

Uma condição que uma pessoa em mil tem, com um teste que detecta 99% e sinaliza 1% por engano

Em 100.000 pessoas, 100 têm a condição
99 delas testam positivo
Das 99.900 que não têm, 999 testam positivo mesmo assim
99 ÷ (99 + 999) = 9,0% — um resultado positivo está errado nove vezes em dez

Onde isso dá errado

Ler a precisão do teste como se fosse a sua probabilidade

Um teste 99% preciso não significa que um resultado positivo tem 99% de chance de estar certo. Quando apenas 1 em 1.000 pessoas tem a condição, os 999 falsos positivos entre as saudáveis superam de longe os 99 verdadeiros positivos entre as doentes, e um positivo significa cerca de 9% de chance. A raridade vence a precisão, e vence com folga.

Perguntas

Por que a raridade da condição importa tanto?: Porque os falsos positivos saem da população saudável, e quando a condição é rara essa população é quase todo mundo. Uma taxa de erro de 1% aplicada a 99.900 pessoas produz muito mais positivos do que uma taxa de detecção de 99% aplicada a 100.
Isso quer dizer que os exames de rastreamento são inúteis?: Não — quer dizer que um único positivo é motivo para testar de novo, e não uma conclusão. Um segundo teste independente aplica a mesma aritmética a um grupo que agora tem 9% de afetados em vez de 0,1%, e a resposta muda completamente.
Onde mais isso aparece?: Em qualquer lugar onde algo raro é procurado com um filtro imperfeito: detecção de fraude, filtro de spam, triagem de segurança, exame antidoping. A matemática não se importa com o que está sendo procurado.