Kiedy kolejność ma znaczenie?

Wtedy, gdy pozycje są rozróżnialne. Podium ze złotem, srebrem i brązem to permutacja, a trzyosobowa komisja to kombinacja. Zadaj sobie pytanie, czy zamiana miejscami dwóch wybranych elementów daje inny wynik.

Dlaczego nie można po prostu użyć silni wprost?

Ponieważ 171! przekracza to, co komputer potrafi zapisać jako liczbę, podczas gdy 200 po 3 to zaledwie 1 313 400. Ta strona mnoży i dzieli naprzemiennie, więc wartości pośrednie pozostają małe — i dlatego duże losowania nadal tutaj działają.

Co, jeśli elementy mogą się powtarzać?

Te wzory zakładają, że każdy element bierzemy najwyżej raz. Losowanie ze zwracaniem — gdy ta sama liczba może wypaść dwa razy — rządzi się inną arytmetyką i daje większe wyniki.

Kalkulator kombinacji

Wpisz, ile jest elementów i ile z nich wybierasz, aby zobaczyć kombinacje i permutacje.

Link zachowuje wprowadzone wartości i otworzy się dokładnie na tych liczbach.

Jak szybko kolejność zaczyna mieć znaczenie

Z tego samego zbioru, który wpisałeś, przy różnej liczbie losowanych elementów. Obie kolumny dzieli r silnia — liczba sposobów uporządkowania raz wybranego zestawu — a ta różnica rośnie znacznie szybciej niż którakolwiek z nich.

Losowane elementy	Kombinacje (bez kolejności)	Permutacje (z kolejnością)	Uporządkowania wybranego zestawu
2Kolejność podwaja wynik. To jeszcze da się policzyć w głowie.	1176	2352	2
3	18 424	110 544	6
4Teraz kolejność mnoży przez 24.	211 876	5 085 024	24
5	1 906 884	228 826 080	120
6Przy sześciu elementach kolejność mnoży wynik przez 720.	13 983 816	10 068 347 520	720

Wzór

kombinacje = n! ÷ (r! × (n − r)!)

permutacje = n! ÷ (n − r)!

permutacje z powtórzeniami = n^r

kombinacje z powtórzeniami = (r + n − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)

uporządkowania = r!

Przykład liczbowy

Losowanie 6 z 49

49 po 6 = 13 983 816 kombinacji
Jeden kupon to jedna z nich
1 ÷ 13 983 816 = 0,0000072% na jedno losowanie

Tu się najczęściej mylimy

Liczenie uporządkowań, na których zadaniu nie zależy

Wybór 6 liczb z 49 daje 13 983 816 kombinacji, ale 10 068 347 520 permutacji — 720 razy więcej, bo kuponowi lotto jest obojętne, w jakiej kolejności wypadną kule. Użycie liczby uporządkowanej sprawia, że szansa jedna na czternaście milionów wygląda jak jedna na dziesięć miliardów.

Pytania

Kiedy kolejność ma znaczenie?: Wtedy, gdy pozycje są rozróżnialne. Podium ze złotem, srebrem i brązem to permutacja, a trzyosobowa komisja to kombinacja. Zadaj sobie pytanie, czy zamiana miejscami dwóch wybranych elementów daje inny wynik.
Dlaczego nie można po prostu użyć silni wprost?: Ponieważ 171! przekracza to, co komputer potrafi zapisać jako liczbę, podczas gdy 200 po 3 to zaledwie 1 313 400. Ta strona mnoży i dzieli naprzemiennie, więc wartości pośrednie pozostają małe — i dlatego duże losowania nadal tutaj działają.
Co, jeśli elementy mogą się powtarzać?: Te wzory zakładają, że każdy element bierzemy najwyżej raz. Losowanie ze zwracaniem — gdy ta sama liczba może wypaść dwa razy — rządzi się inną arytmetyką i daje większe wyniki.