Quando conta l’ordine?

Quando le posizioni sono distinguibili. Un podio con oro, argento e bronzo è una permutazione; una commissione di tre persone è una combinazione. Chiediti se scambiare fra loro due elementi scelti produce un esito diverso.

Perché non posso usare direttamente i fattoriali?

Perché 171! supera ciò che un calcolatore può rappresentare come numero, mentre 200 su 3 fa soltanto 1.313.400. Questa pagina moltiplica e divide passo per passo, così i valori intermedi restano piccoli: per questo funzionano anche le estrazioni grandi.

E se gli elementi possono ripetersi?

Queste formule presuppongono che ogni elemento venga preso al massimo una volta. L’estrazione con reimmissione — dove lo stesso numero può uscire due volte — usa un’aritmetica diversa e dà conteggi più grandi.

Calcolo delle combinazioni

Inserisci quanti elementi ci sono e quanti ne prendi per vedere le combinazioni e le permutazioni.

Il link conserva i valori inseriti: si riapre esattamente su questi numeri.

Quanto in fretta l’ordine comincia a contare

Dallo stesso insieme che hai inserito, estraendo quantità diverse di elementi. Le due colonne differiscono di r fattoriale — il numero di modi di ordinare un gruppo già scelto — e questa distanza cresce molto più in fretta di entrambe.

Elementi estratti	Combinazioni (ordine ignorato)	Permutazioni (l’ordine conta)	Ordinamenti dell’insieme scelto
2L’ordine raddoppia il conteggio. Si tiene ancora a mente.	1176	2352	2
3	18.424	110.544	6
4Ora l’ordine moltiplica per 24.	211.876	5.085.024	24
5	1.906.884	228.826.080	120
6A sei elementi, l’ordine moltiplica il conteggio per 720.	13.983.816	10.068.347.520	720

La formula

combinazioni = n! ÷ (r! × (n − r)!)

permutazioni = n! ÷ (n − r)!

permutazioni con ripetizione = n^r

combinazioni con ripetizione = (r + n − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!)

ordinamenti = r!

Esempio svolto

L’estrazione del lotto 6 su 49

49 su 6 = 13.983.816 combinazioni
Una schedina è una di queste
1 ÷ 13.983.816 = 0,0000072% per estrazione

Dove si sbaglia

Contare ordinamenti di cui il problema non si cura

Scegliere 6 numeri fra 49 dà 13.983.816 combinazioni ma 10.068.347.520 permutazioni — 720 volte tanto, perché a una schedina non interessa in che ordine escono le palline. Usare il conteggio ordinato fa sembrare una probabilità su quattordici milioni una probabilità su dieci miliardi.

Domande

Quando conta l’ordine?: Quando le posizioni sono distinguibili. Un podio con oro, argento e bronzo è una permutazione; una commissione di tre persone è una combinazione. Chiediti se scambiare fra loro due elementi scelti produce un esito diverso.
Perché non posso usare direttamente i fattoriali?: Perché 171! supera ciò che un calcolatore può rappresentare come numero, mentre 200 su 3 fa soltanto 1.313.400. Questa pagina moltiplica e divide passo per passo, così i valori intermedi restano piccoli: per questo funzionano anche le estrazioni grandi.
E se gli elementi possono ripetersi?: Queste formule presuppongono che ogni elemento venga preso al massimo una volta. L’estrazione con reimmissione — dove lo stesso numero può uscire due volte — usa un’aritmetica diversa e dà conteggi più grandi.