Perché la rarità della condizione conta così tanto?

Perché i falsi positivi vengono dalla popolazione sana, e quando la condizione è rara quella popolazione è quasi tutti. Un tasso di errore dell’1% applicato a 99.900 persone produce molti più positivi di un tasso di rilevazione del 99% applicato a 100.

Significa che i test di screening sono inutili?

No — significa che un singolo positivo è un motivo per ripetere il test, non una conclusione. Un secondo test indipendente applica la stessa aritmetica a un gruppo che ora è affetto al 9% invece che allo 0,1%, e la risposta cambia completamente.

Dove altro si presenta questa cosa?

Ovunque si cerchi qualcosa di raro con un filtro imperfetto: rilevamento delle frodi, filtri antispam, controlli di sicurezza, test antidoping. Alla matematica non interessa che cosa si stia cercando.

Calcolo del teorema di Bayes

Inserisci quanto è diffusa la condizione e come si comporta il test per vedere che cosa implica davvero un risultato positivo.

Il link conserva i valori inseriti: si riapre esattamente su questi numeri.

Lo stesso test, su popolazioni diverse

Il tuo test, invariato: cambia solo quanto è diffusa la condizione. Lungo questa colonna nulla del test migliora o peggiora; cambia chi viene testato.

Quanto è diffusa	Probabilità di averla davvero	Veri positivi ogni 100.000 test	Falsi positivi ogni 100.000 test
1 su 10.000Screening di una malattia rara su tutta una popolazione.	0,98 %	10	1000
1 su 1000	9,016 %	99	999
1 su 100	50 %	990	990
1 su 10Test su persone che hanno già sintomi.	91,667 %	9900	900
1 su 2Una probabilità a priori da testa o croce: finalmente è il test a pesare di più.	99 %	49.500	500

La formula

veri positivi = prevalenza × sensibilità

falsi positivi = (1 − prevalenza) × tasso di falsi positivi

risposta = veri positivi ÷ (veri positivi + falsi positivi)

Esempio svolto

Una condizione che ha una persona su mille, un test che ne rileva il 99% e ne segnala per errore l’1%

Su 100.000 persone, 100 ce l’hanno
99 di loro risultano positive
Delle 99.900 che non ce l’hanno, 999 risultano positive lo stesso
99 ÷ (99 + 999) = 9,0% — un risultato positivo è sbagliato nove volte su dieci

Dove si sbaglia

Leggere l’accuratezza del test come la propria probabilità

Un test accurato al 99% non significa che un risultato positivo abbia il 99% di probabilità di essere giusto. Quando solo 1 persona su 1000 ha la condizione, i 999 falsi positivi fra i sani superano di gran lunga i 99 veri positivi fra i malati, e un positivo vale circa il 9% di probabilità. La rarità batte l’accuratezza, e la batte nettamente.

Domande

Perché la rarità della condizione conta così tanto?: Perché i falsi positivi vengono dalla popolazione sana, e quando la condizione è rara quella popolazione è quasi tutti. Un tasso di errore dell’1% applicato a 99.900 persone produce molti più positivi di un tasso di rilevazione del 99% applicato a 100.
Significa che i test di screening sono inutili?: No — significa che un singolo positivo è un motivo per ripetere il test, non una conclusione. Un secondo test indipendente applica la stessa aritmetica a un gruppo che ora è affetto al 9% invece che allo 0,1%, e la risposta cambia completamente.
Dove altro si presenta questa cosa?: Ovunque si cerchi qualcosa di raro con un filtro imperfetto: rilevamento delle frodi, filtri antispam, controlli di sicurezza, test antidoping. Alla matematica non interessa che cosa si stia cercando.