O que é a fórmula de Heron?

Um jeito de obter a área de um triângulo apenas pelos três comprimentos de lado, sem ângulo e sem altura perpendicular. Pegue a metade do perímetro, subtraia dela cada lado por vez, multiplique os quatro números e tire a raiz quadrada. Ela tem cerca de dois mil anos e continua sendo o método prático para um terreno irregular.

Por que as minhas duas respostas discordam?

Porque pelo menos uma das medidas está errada, e isso é informação útil, não um defeito. Na maioria das vezes a “altura” foi medida ao longo de um lado em vez de perpendicular à base. A altura implicada que aparece aqui é o que os seus três lados dizem que a perpendicular deveria ser — compare com o que você mediu.

E se os três lados não formarem um triângulo?

Então a fórmula de Heron devolve zero aqui, em vez de um erro. Dois lados quaisquer precisam somar mais que o terceiro; 3, 4 e 20 não descrevem nada que feche. Se você obtiver zero, meça de novo — um dos três está errado.

Calculadora de Área do Triângulo

Dois caminhos para a mesma resposta, conforme as medidas que você tem em mãos.

The link carries your figures, so it reopens on exactly these numbers.

A fórmula

área = base × altura ÷ 2

s = (a + b + c) ÷ 2

área = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)) — Heron

altura sobre a = 2 × área ÷ a

Exemplo resolvido

Um triângulo retângulo 12-5-13

base × altura: 12 × 5 ÷ 2 = 30
s = (12 + 13 + 5) ÷ 2 = 15
Heron: √(15 × 3 × 2 × 10) = √900 = 30
Os dois caminhos concordam, e é essa a conferência

Onde isso dá errado

Medir a altura ao longo de um lado inclinado

A altura em base × altura ÷ 2 é a distância perpendicular da base até o vértice oposto, e não o comprimento de um lado. Em um triângulo com base de 5 m e lados de 4 m inclinados a 30°, usar o lado dá 10 m² onde a área verdadeira é 5 m² — o dobro. Se você só consegue medir os três lados, use a fórmula de Heron, que não precisa de nenhuma perpendicular. Esta página roda as duas e imprime a altura que os lados implicam, para que qualquer divergência fique visível.

Perguntas

O que é a fórmula de Heron?: Um jeito de obter a área de um triângulo apenas pelos três comprimentos de lado, sem ângulo e sem altura perpendicular. Pegue a metade do perímetro, subtraia dela cada lado por vez, multiplique os quatro números e tire a raiz quadrada. Ela tem cerca de dois mil anos e continua sendo o método prático para um terreno irregular.
Por que as minhas duas respostas discordam?: Porque pelo menos uma das medidas está errada, e isso é informação útil, não um defeito. Na maioria das vezes a “altura” foi medida ao longo de um lado em vez de perpendicular à base. A altura implicada que aparece aqui é o que os seus três lados dizem que a perpendicular deveria ser — compare com o que você mediu.
E se os três lados não formarem um triângulo?: Então a fórmula de Heron devolve zero aqui, em vez de um erro. Dois lados quaisquer precisam somar mais que o terceiro; 3, 4 e 20 não descrevem nada que feche. Se você obtiver zero, meça de novo — um dos três está errado.