Che cos’è la formula di Erone?

Un modo per ricavare l’area di un triangolo dai soli tre lati, senza angoli e senza altezza perpendicolare. Prendi il semiperimetro, sottraine a turno ciascun lato, moltiplica i quattro numeri fra loro ed estrai la radice quadrata. Ha circa duemila anni ed è ancora il metodo pratico per un terreno irregolare.

Perché le mie due risposte non coincidono?

Perché almeno una misura è sbagliata, e questa è un’informazione utile più che un difetto. Il caso più frequente è che l’« altezza » sia stata misurata lungo un lato invece che perpendicolarmente alla base. L’altezza implicata stampata qui è quella che i tuoi tre lati dicono dovrebbe essere la perpendicolare — confrontala con quella che hai misurato.

E se i tre lati non possono formare un triangolo?

Allora la formula di Erone qui restituisce zero invece di un errore. Due lati qualsiasi devono sommare a più del terzo; 3, 4 e 20 non descrivono nulla che si chiuda. Se ottieni zero, rimisura — uno dei tre è sbagliato.

Calcolo dell’area del triangolo

Due strade verso la stessa risposta, a seconda delle misure che hai davvero.

The link carries your figures, so it reopens on exactly these numbers.

La formula

area = base × altezza ÷ 2

s = (a + b + c) ÷ 2

area = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)) — Erone

altezza su a = 2 × area ÷ a

Esempio svolto

Un triangolo rettangolo 12-5-13

base × altezza: 12 × 5 ÷ 2 = 30
s = (12 + 13 + 5) ÷ 2 = 15
Erone: √(15 × 3 × 2 × 10) = √900 = 30
Le due strade coincidono, ed è questa la verifica

Dove si sbaglia

Misurare l’altezza lungo un lato inclinato

L’altezza in base × altezza ÷ 2 è la distanza perpendicolare dalla base al vertice opposto, non la lunghezza di un lato. Su un triangolo con base di 5 m e lati di 4 m inclinati di 30°, usare il lato dà 10 m² dove l’area vera è 5 m² — il doppio. Se puoi misurare solo i tre lati, usa la formula di Erone, che non ha bisogno di alcuna perpendicolare. Questa pagina calcola entrambe le strade e stampa l’altezza implicata dai lati, così una discordanza si vede.

Domande

Che cos’è la formula di Erone?: Un modo per ricavare l’area di un triangolo dai soli tre lati, senza angoli e senza altezza perpendicolare. Prendi il semiperimetro, sottraine a turno ciascun lato, moltiplica i quattro numeri fra loro ed estrai la radice quadrata. Ha circa duemila anni ed è ancora il metodo pratico per un terreno irregolare.
Perché le mie due risposte non coincidono?: Perché almeno una misura è sbagliata, e questa è un’informazione utile più che un difetto. Il caso più frequente è che l’« altezza » sia stata misurata lungo un lato invece che perpendicolarmente alla base. L’altezza implicata stampata qui è quella che i tuoi tre lati dicono dovrebbe essere la perpendicolare — confrontala con quella che hai misurato.
E se i tre lati non possono formare un triangolo?: Allora la formula di Erone qui restituisce zero invece di un errore. Due lati qualsiasi devono sommare a più del terzo; 3, 4 e 20 non descrivono nulla che si chiuda. Se ottieni zero, rimisura — uno dei tre è sbagliato.