Was ist die Formel von Heron?

Ein Weg, die Fläche eines Dreiecks allein aus seinen drei Seitenlängen zu bestimmen, ohne Winkel und ohne senkrechte Höhe. Nehmen Sie den halben Umfang, ziehen Sie davon der Reihe nach jede Seite ab, multiplizieren Sie die vier Zahlen und ziehen Sie die Wurzel. Sie ist rund zweitausend Jahre alt und noch immer die praktische Methode für ein unregelmäßiges Grundstück.

Warum weichen meine beiden Ergebnisse voneinander ab?

Weil mindestens ein Maß falsch ist, und das ist eine nützliche Information und kein Fehler. Meistens wurde die „Höhe“ entlang einer Seite gemessen statt senkrecht zur Grundseite. Die hier angegebene implizierte Höhe ist das, was Ihre drei Seiten für die Senkrechte vorgeben — vergleichen Sie sie mit dem, was Sie gemessen haben.

Was, wenn die drei Seiten kein Dreieck bilden können?

Dann liefert die Formel von Heron hier null statt eines Fehlers. Je zwei Seiten müssen zusammen länger sein als die dritte; 3, 4 und 20 beschreiben nichts, was sich schließt. Wenn Sie null erhalten, messen Sie nach — eine der drei Angaben ist falsch.

Dreiecksflächen-Rechner

Zwei Wege zum selben Ergebnis, je nachdem, welche Maße Sie tatsächlich haben.

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Die Formel

Fläche = Grundseite × Höhe ÷ 2

s = (a + b + c) ÷ 2

Fläche = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)) — Heron

Höhe auf a = 2 × Fläche ÷ a

Rechenbeispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck 12-5-13

Grundseite × Höhe: 12 × 5 ÷ 2 = 30
s = (12 + 13 + 5) ÷ 2 = 15
Heron: √(15 × 3 × 2 × 10) = √900 = 30
Beide Wege stimmen überein, und das ist die Probe

Wo es schiefgeht

Die Höhe entlang einer schrägen Seite messen

Die Höhe in Grundseite × Höhe ÷ 2 ist der senkrechte Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke, nicht die Länge einer Seite. Bei einem Dreieck mit 5 m Grundseite und Seiten von 4 m, die um 30° geneigt sind, ergibt die Seite 10 m², während die wahre Fläche 5 m² beträgt — das Doppelte. Wenn Sie nur die drei Seiten messen können, nehmen Sie die Formel von Heron, die ohne jede Senkrechte auskommt. Diese Seite rechnet beides und gibt die Höhe an, die sich aus den Seiten ergibt, sodass eine Abweichung sichtbar wird.

Fragen

Was ist die Formel von Heron?: Ein Weg, die Fläche eines Dreiecks allein aus seinen drei Seitenlängen zu bestimmen, ohne Winkel und ohne senkrechte Höhe. Nehmen Sie den halben Umfang, ziehen Sie davon der Reihe nach jede Seite ab, multiplizieren Sie die vier Zahlen und ziehen Sie die Wurzel. Sie ist rund zweitausend Jahre alt und noch immer die praktische Methode für ein unregelmäßiges Grundstück.
Warum weichen meine beiden Ergebnisse voneinander ab?: Weil mindestens ein Maß falsch ist, und das ist eine nützliche Information und kein Fehler. Meistens wurde die „Höhe“ entlang einer Seite gemessen statt senkrecht zur Grundseite. Die hier angegebene implizierte Höhe ist das, was Ihre drei Seiten für die Senkrechte vorgeben — vergleichen Sie sie mit dem, was Sie gemessen haben.
Was, wenn die drei Seiten kein Dreieck bilden können?: Dann liefert die Formel von Heron hier null statt eines Fehlers. Je zwei Seiten müssen zusammen länger sein als die dritte; 3, 4 und 20 beschreiben nichts, was sich schließt. Wenn Sie null erhalten, messen Sie nach — eine der drei Angaben ist falsch.